「雅礼集训 2018-04-03」Problem B

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求有多少 NN 个的竞赛图包含至少一个长度为 KK 的简单环, 输出答案模 109+710^9+7 的结果。

竞赛图: 任意两个点之间都有一条有向边的图。

简单环: 不经过重复节点的回路。

Constraints

n≤5000n \leq 5000

Solution

首先有一个定理：竞赛图中如果包含一个大小大于等于 kk 的强连通分量，则这个强连通分量内包含长度为 [3,k][3,k] 的简单环。则问题转化为：求至少有一个强连通分量大小大于等于 kk 的方案数。

令 pip_{i} 表示 ii 个点的竞赛图方案数，则显然有 pi=2i⋅(i−1)2p_{i}=2^{\frac{i\cdot (i-1)}{2}} 。

令 gig_{i} 表示 ii 个点的强连通分量且为竞赛图的方案数，则显然有 gi=pi−∑j=1i−1(ij)⋅gj⋅pi−jg_{i}=p_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}\binom{i}{j}\cdot g_{j}\cdot p_{i-j} 。

令 fif_{i} 表示当前用了 ii 个点，不包含大小大于等于kk的强连通分量的方案数。枚举最后一个强连通分量的大小进行转移，可得：

fi=∑j=1min(k−1,i)(ij)⋅gj⋅fi−jf_{i}=\sum _{j=1}^{min(k-1,i)}\binom{i}{j}\cdot g_{j}\cdot f_{i-j}

则最终答案为 pn−fnp_{n}-f_{n} ，时间复杂度 O(n2)O(n^{2}) 。

Code

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#include<cstdio>
#include<algorithm> 
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=5e3+5;
const int mod=1e9+7;
int n,k,C[N][N],g[N],p[N],f[N];
int power(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=0;i<=n;i++)C[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=power(2,i*(i-1)/2);
    g[1]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        g[i]=p[i];
        for(int j=1;j<i;j++)
            g[i]=(g[i]-1ll*C[i][j]*g[j]%mod*p[i-j]%mod+mod)%mod;
    }
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<k&&j<=i;j++)
            f[i]=(f[i]+1ll*C[i][j]*g[j]%mod*f[i-j])%mod;
    printf("%d",(p[n]-f[n]+mod)%mod);
    return 0;
}