给定数字 $n$ ，建立一个无向图。对于所有 $1$ 到 $n$ 之间的数字，当数字 $gcd(u,v)\neq 1$ 时将 $u$、$v$ 连一条边，边权为 $1$ 。$d(u,v)$ 表示 $u$ 到 $v$ 的最短路，求所有 $d(u,v)$ 的和，其中 $1\leq u < v \leq n$。

给定一个 $W\times H$ 的二维平面，初始均为白色，有 $n$ 个关键点 $(x_{i},y_{i})$ ，对于每一个关键点选择一个方向，并将该方向上的所有网格涂成黑色。易得操作后白色部分一定是一个矩形，请最大化矩形周长。

给定一个凸 $n$ 边形，以及它的三角剖分。再给定 $q$ 个询问，每个询问是一对凸多边行上的顶点 $(a,b)$ ，问点 $a$ 最少经过多少条边(可以是多边形上的边，也可以是剖分上的边)可以到达点 $b$ 。

令 $(1+\sqrt 2)^n=e(n)+\sqrt 2\cdot f(n)$ ，其中 $e(n),f(n)$ 都是整数，显然有 $(1-\sqrt 2)^n=e(n)-\sqrt 2\cdot f(n)$。令 $g(n)$ 表示 $f(1),f(2),\cdots ,f(n)$ 的最小公倍数，给定两个正整数 $n$ 和 $p$ ，其中 $p$ 是质数，并且保证 $f(1),f(2),\cdots ,f(n)$ 在模 $p$ 意义下均不为 $0$，请计算 $\sum _{i=1}^{n}i\cdot g(i)$ 模 $p$ 的值。

给定一棵 $n$ 个节点的树，对于每个节点，计算出：$S(i)=\sum _{j=1}^ndist(i,j)^k \pmod {10007}$。其中 $dist(i, j)$ 表示第 $i$ 个节点到第 $j$ 个节点路径上的边数，$k$ 为一个常数且为正整数。

有 $n$ 个城镇被分成了 $k$ 个郡，有 $m$ 条连接城镇的无向边。要求给每个郡选择一个城镇作为首都，满足每条边至少有一个端点是首都。

给定一棵 $n$ 个点的树， $m$ 条链， $q$ 个询问，每次询问 $a$ 到 $b$ 之间的路径最少可用几条给定链完全覆盖，无解输出 $-1$ 。