「LOJ 2245」「NOI2014」魔法森林

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为了得到书法大家的真传，小 E 同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。

魔法森林可以被看成一个包含 NN 个节点 MM 条边的无向图，节点标号为 1,…,N1,\ldots,N ，边标号为 1,…,M1,\ldots,M 。初始时小 E 同学在号节点 11 ，隐士则住在 NN 号节点。小 E 需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在 11 号节点住着两种守护精灵： AA 型守护精灵与 BB 型守护精灵。小 E 可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小 E 带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边 EiE_i 包含两个权值 AiA_i 与 BiB_i 。若身上携带的 A 型守护精灵个数不少于 AiA_i ，且 BB 型守护精灵个数不少于 BiB_i ，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小 E 发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小 E 想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为 AA 型守护精灵的个数与 BB 型守护精灵的个数之和。

Constraints

2≤n≤500002\leq n\leq 50000 ， 0≤m≤1000000\leq m\leq 100000 ， 1≤ai,bi≤500001\leq a_i,b_i\leq 50000

Solution

按照权值 AA 排序后，从小到大加边，利用并查集维护连通关系，利用 LCT 维护加边与删边、链上最大值的位置。边可以转化为一个点，点权为原边权，向原端点连边。

加边时若两端点不联通，则直接加入，否则替换掉路径上的最大值。

Code

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=200050;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,ans=inf,st[N];
struct edge{int u,v,a,b;}e[N];
struct node{int fa,c[2],mx,val,p;bool rev;}tr[N];
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
bool cmp(edge a,edge b){return a.a<b.a;}
int find(int k){return k==tr[k].p?k:tr[k].p=find(tr[k].p);}
bool isroot(int k){return tr[tr[k].fa].c[0]!=k&&tr[tr[k].fa].c[1]!=k;}
void up(int k)
{
    int l=tr[k].c[0],r=tr[k].c[1];tr[k].mx=k;
    if(tr[tr[l].mx].val>tr[tr[k].mx].val)tr[k].mx=tr[l].mx;
    if(tr[tr[r].mx].val>tr[tr[k].mx].val)tr[k].mx=tr[r].mx;
}
void down(int k)
{
    if(tr[k].rev)
    {
        int l=tr[k].c[0],r=tr[k].c[1];
        tr[k].rev^=1;tr[l].rev^=1;tr[r].rev^=1;
        swap(tr[k].c[0],tr[k].c[1]);
    }
}
void rotate(int x)
{
    int y=tr[x].fa,z=tr[y].fa,l,r;
    if(tr[y].c[0]==x)l=0;else l=1;r=l^1;
    if(!isroot(y)){if(tr[z].c[0]==y)tr[z].c[0]=x;else tr[z].c[1]=x;}
    tr[x].fa=z;tr[y].fa=x;tr[tr[x].c[r]].fa=y;
    tr[y].c[l]=tr[x].c[r];tr[x].c[r]=y;
    up(y);up(x);
}
void splay(int x)
{
    int top=0;st[++top]=x;
    for(int i=x;!isroot(i);i=tr[i].fa)st[++top]=tr[i].fa;
    for(int i=top;i;i--)down(st[i]);
    while(!isroot(x))
    {
        int y=tr[x].fa,z=tr[y].fa;
        if(!isroot(y))
        {
            if((tr[y].c[0]==x)^(tr[z].c[0]==y))rotate(x);
            else rotate(y);
        }
        rotate(x);
    }
}
void acs(int x){int t=0;while(x){splay(x);tr[x].c[1]=t;up(x);t=x;x=tr[x].fa;}}
void mkroot(int x){acs(x);splay(x);tr[x].rev^=1;}
void link(int x,int y){mkroot(x);tr[x].fa=y;splay(x);}
void cut(int x,int y){mkroot(x);acs(y);splay(y);tr[x].fa=tr[y].c[0]=0;}
int query(int x,int y){mkroot(x);acs(y);splay(y);return tr[y].mx;}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)tr[i].p=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){e[i].u=read();e[i].v=read();e[i].a=read();e[i].b=read();}
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=e[i].u,v=e[i].v,a=e[i].a,b=e[i].b;
        if(find(u)==find(v))
        {
            int t=query(u,v);
            if(tr[t].val>b){cut(t,e[t-n].u);cut(t,e[t-n].v);}
            else continue; 
        }
        else tr[find(u)].p=find(v);
        tr[i+n].val=b;tr[i+n].mx=i+n;link(u,i+n);link(v,i+n);
        if(find(1)==find(n))ans=min(ans,a+tr[query(1,n)].val);
    }
    if(ans==inf)printf("-1");
    else printf("%d\n",ans);
    return 0;
}