「BZOJ 4259」残缺的字符串

发表于

很久很久以前，在你刚刚学习字符串匹配的时候，有两个仅包含小写字母的字符串 AA 和 BB ，其中 AA 串长度为 mm ，BB 串长度为 nn 。可当你现在再次碰到这两个串时，这两个串已经老化了，每个串都有不同程度的残缺。

你想对这两个串重新进行匹配，其中 AA 为模板串，那么现在问题来了，请回答，对于 BB 的每一个位置 ii ，从这个位置开始连续 mm 个字符形成的子串是否可能与 AA 串完全匹配?

Constraints

1≤m,n≤3000001\leq m,n \leq 300000

Solution

首先将 * 号的值置为 00 ，那么对于两个长度皆为 mm 的串，若 ∑i=0m−1(A[i]−B[i])2A[i]B[i]=0\sum _{i=0}^{m-1}(A[i]-B[i])^2 A[i]B[i]=0 ，则两个串可以完全匹配。

此时若将 AA 串翻转，并枚举在 BB 串中的结尾位置，则可得：

f[i]=∑j=0i(A[j]−B[i−j])2A[j]B[i−j]=∑j=0iA[j]3B[i−j]−2∑j=0iA[j]2B[i−j]2+∑j=0iA[j]B[i−j]3\begin{aligned} f[i] &= \sum _{j=0}^{i}(A[j]-B[i-j])^2 A[j]B[i-j] \\ &= \sum _{j=0}^{i}A[j]^3B[i-j]-2\sum _{j=0}^{i}A[j]^2B[i-j]^2+\sum _{j=0}^{i}A[j]B[i-j]^3 \end{aligned}

直接 FFT 即可，注意卡常。

Code

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=524288+5;
const double pi=acos(-1);
int n,n1,n2,cnt,out[N],a[N],b[N];
char s1[N],s2[N];
struct cpx{double r,i;cpx(double _r=0,double _i=0):r(_r),i(_i){};};
cpx A[N],B[N],ans[N];
cpx operator + (cpx a,cpx b){return cpx(a.r+b.r,a.i+b.i);}
cpx operator - (cpx a,cpx b){return cpx(a.r-b.r,a.i-b.i);}
cpx operator * (cpx a,cpx b){return cpx(a.r*b.r-a.i*b.i,a.r*b.i+a.i*b.r);}
void fft(cpx *a,int n,int f)
{
    int k=0;while((1<<k)<n)k++;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int t=0;
        for(int j=0;j<k;j++)
            if(i&(1<<j))t|=(1<<(k-j-1));
        if(i<t)swap(a[i],a[t]);
    }
    for(int l=2;l<=n;l<<=1)
    {
        int m=l>>1;
        cpx nw=cpx(cos(2*pi/l),sin(2*pi/l)*f);
        for(cpx *p=a;p!=a+n;p+=l)
        {
            cpx w=cpx(1,0);
            for(int i=0;i<m;i++)
            {
                cpx t=p[m+i]*w;w=w*nw;
                p[m+i]=p[i]-t;p[i]=p[i]+t;
            }
        }
    }
    if(f==-1)for(int i=0;i<n;i++)a[i].r/=n;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%s%s",&n1,&n2,s1,s2);
    n=1;while(n<n1||n<n2)n<<=1;
    for(int i=0;i<n1;i++)if(s1[i]!='*')a[n1-i-1]=s1[i]-'a'+1;
    for(int i=0;i<n2;i++)if(s2[i]!='*')b[i]=s2[i]-'a'+1;
    for(int i=0;i<n;i++)A[i]=cpx(a[i]*a[i]*a[i],0);
    for(int i=0;i<n;i++)B[i]=cpx(b[i],0);
    fft(A,n,1);fft(B,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=A[i]*B[i];
    for(int i=0;i<n;i++)A[i]=cpx(a[i]*a[i],0);
    for(int i=0;i<n;i++)B[i]=cpx(b[i]*b[i],0);
    fft(A,n,1);fft(B,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=ans[i]-A[i]*B[i]*cpx(2,0);
    for(int i=0;i<n;i++)A[i]=cpx(a[i],0);
    for(int i=0;i<n;i++)B[i]=cpx(b[i]*b[i]*b[i],0);
    fft(A,n,1);fft(B,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=ans[i]+A[i]*B[i];
    fft(ans,n,-1);
    for(int i=n1-1;i<n2;i++)
        if(ans[i].r<0.5)out[++cnt]=i-n1+2;
    printf("%d\n",cnt);
    for(int i=1;i<=cnt;i++)printf("%d ",out[i]);
    return 0;
}